《分形測度的離散逼近與最優分劃的幾何結構》是依託江蘇理工學院，由朱三國擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：分形測度的離散逼近與最優分劃的幾何結構
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：朱三國
- 依託單位：江蘇理工學院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
測度的離散逼近問題是用有限支撐的離散測度在Wasserstein度量下逼近給定的測度。離散逼近的目的是方便人們利用計算機技術處理實際問題。本課題擬深入研究最佳逼近的離散測度的支撐點集的幾何結構，由此分析各個支撐點對離散逼近誤差的貢獻的漸近均勻性。一旦此種均勻性得到證實，人們將能更方便地尋找漸近的最佳逼近測度，而漸近最佳逼近測度亦能反映出原測度的分布性質。研究結果表明，離散逼近的標度率與分形中各種維數密切相關，因此我們亦將探索測度的離散逼近與其局部性態及其支撐的分形性質之間的本質關係。作為套用，我們將集中研究莫朗測度、自仿測度以及凝聚系統對應的不變測度的離散逼近問題。由於離散測度的積分容易估算，本課題的研究結果在測度積分的數值計算等數學課題中的套用極有希望得到拓展。
結題摘要
機率測度的離散逼近問題起源於資訊理論及圖像壓縮、數據處理等工程技術，嚴格的數學理論研究興起於近二十年。本課題綜合運用了割、圍、添三步走的方法，通過仔細分析測度支撐的幾何結構，構造合適的輔助測度，結合前推-拉回的思路，深入研究了支撐在Moran-型分形集上的測度、凝聚系統的不變測度（即非齊次自相似測度）、Bedford-McMullen地毯上的自仿測度，確定了其漸近量子化性質，包括量子化維數的確切表達式以及上、下量子化係數的正有限性。我們對多類測度證明了Gersho猜測的弱形式。我們得到了下列結果：1.確定了Markov-型測度的量子化維數的確切值，給出了上、下量子化係數正有限的充分必要條件；在Markov-型測度的上、下量子化係數為無窮時，確定了其量子化誤差的漸近階；在轉移矩陣不可約的條件下，確定了Markov-型測度關於幾何平均誤差的量子化維數，並證明了此時上、下量子化係數的正有限性。2.分別在開集條件和非齊次開集條件下證明了兩類迥異的非齊次自相似測度關於幾何平均誤差的上、下量子化係數的正有限性。3.在一般情形下對Bedford-McMullen地毯上的自仿測度，證明了其量子化維數的存在性並給出了其確切表達式；證明了Bedford-McMullen地毯上的自仿測度的上、下量子化係數的正有限性；在強分離條件下證明了Bedford-McMullen地毯上的自仿測度關於幾何平均誤差的上、下量子化係數的正有限性。4.對一維直線上的Moran-型測度、任意維的Ahfors-David測度及高維空間中的Moran集上的加倍測度證明了Gersho猜測的弱形式。 項目提出並發展了割、圍、添方法和前推-拉回的思路，為研究測度的離散逼近問題提供了框架性的方案。相關結果或可為資訊理論及圖像壓縮、數據處理等工程技術提供理論支撐或方法借鑑。
