《光滑函式類上的幾個逼近問題》是依託上海師範大學，由段立芹擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：光滑函式類上的幾個逼近問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：段立芹
- 依託單位：上海師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
逼近的核心問題是尋找用簡單函式代替複雜函式的有效方法並研究其逼近誤差。線性逼近是比較自然且易實施的逼近方法，近來，在信號和圖像處理等問題的推動下，非線性m-項逼近得到了廣泛的研究。Temlyakov主要研究了具有一定光滑性的Banach空間及一些函式類上的非線性m-項逼近並給出了實現最優階的算法，貪婪算法。許多重要函式類的線性逼近特徵的研究比較完整，但非線性逼近在這些函式類上的漸近行為還有待於進一步研究。.在本項目中，首先，研究廣義Besov函式類在一些特殊基及不同字典下的非線性最佳m-項逼近和不同貪婪算法的收斂階。其次，研究各向異性Sobolev函式類在非緊嵌入到連續空間時由標準信息的恢復問題並給出在一致和隨機框架下恢復問題的漸近階。最後，研究由各向異性Sobolev函式類確定的第二類Fredholm積分方程在不同框架下局部解和整體解的數值逼近並給出數值逼近誤差的漸近階。
結題摘要
近來，在信號和圖像處理等問題的推動下，非線性m-項逼近得到了廣泛研究。而在很多情況下，貪婪算法提供了在階意義上的最優算法。在本項目中，我們首先研究了廣義各向同性與各向異性Besov函式類上的貪婪逼近問題並給出了貪婪逼近的收斂階。 其次，最優恢復問題也是逼近論中的重要問題之一。已知未知函式的某些信息及性質，由此構造算法並研究逼近誤差。最優恢復與學習理論有著密切的關係。因此，考慮一些重要函式類的恢復問題可以給其他問題提供理論上的參考。在本項目中，我們考慮了各向異性Sobolev函式類在非緊嵌入連續函式空間時在確定和隨機框架下的最優恢復問題，並得到了最優恢復的漸近階。而對於緊嵌入的情形，葉培新教授已經給出了相應的結果。另外，我們還研究了隨機框架下的逼近與數值積分，並得到了這些逼近特徵的漸近階估計。 最後，我們將研究第二類Fredholm積分方程的數值逼近解並考慮逼近誤差。微分方程和積分方程的數值逼近也是逼近論中廣泛研究的熱點問題。很多學者對不同的積分方程及微分方程的數值逼近解在不同框架下進行了研究。在本項目中，我們將考慮核和自由項來自於各向異性Sobolev類的第二類Fredholm積分方程在確定，隨機和量子框架下的數值逼近解並研究其逼近誤差。目前，已對確定情況下的逼近解及誤差進行了分析並得到誤差的漸近階。對於周期各向異性Sobolev類的情形，馬萬等已得到確定框架下相應的結果。
