倒向隨機熱方程的數值算法

《倒向隨機熱方程的數值算法》是依託西南大學，由王燕青擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：倒向隨機熱方程的數值算法
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：王燕青
• 依託單位：西南大學

項目摘要

本項目主要是給出倒向隨機熱方程初邊值問題的數值算法。迄今，倒向隨機常微分方程的數值算法已有不少結果，但是倒向隨機偏微分方程的相應結果卻極少，並且遠不夠令人滿意。我們主要是利用半離散Galerkin方法給出一類特殊的倒向隨機偏微分方程—倒向隨機熱方程的數值算法。首先，給出原方程的有限維逼近方程，得到逼近方程的解與原方程的解關於空間變數的收斂關係和收斂速度；其次，對於逼近方程，由於其形式的特殊性，利用倒向Euler方法給出優於已有結果的數值算法，得到關於時間變數的收斂速度。倒向隨機偏微分方程的數值算法不僅有理論價值，而且在控制論中有實際的套用價值。

結題摘要

從上世紀九十年代開始，倒向隨機常微分方程理論發展迅速，並且成功地套用到金融數學、控制論等領域中。但是，一般來說，倒向隨機微分方程的解析解不容易得到，而在具體套用中又迫切需要上述方程的解，這就為倒向隨機微分方程的數值算法研究提出了要求。迄今，關於倒向隨機常微分方程的數值算法研究已經有了不少的結果；但是，對倒向隨機偏微分方程的數值算法的研究結果還非常少，並且也不夠令人滿意。作為一類特殊的倒向隨機偏微分方程，倒向隨機熱方程在套用數學（控制論）領域已經被廣泛套用。因此，倒向隨機熱方程的數值算法研究不僅有理論上的意義，而且也有實際的套用價值。 本項目主要是採用半離散Galerkin方法給出倒向隨機熱方程初邊值問題的數值算法。首先，我們給出原方程的有限維逼近方程（一族倒向隨機常微分方程），得到逼近方程的解與原方程的解關於空間變數的收斂關係和收斂速度；其次，對於逼近方程，由於其形式的特殊性，我們利用倒向Euler方法給出優於已有結果的數值算法，得到關於時間變數的收斂性和收斂速度。 本項目上述研究內容已經整理成論文 A semi discrete Galerkin scheme for backward stochastic parabolic differential equations 並發表。該結果將會對倒向隨機偏微分方程的Galerkin數值算法的研究起到拋磚引玉的作用，為進一步研究倒向隨機偏微分方程的其他算法奠定基礎。