二項同餘方程

二項同餘方程(binomial congruence equation)亦稱二項同餘式，是一類特殊的同餘方程，設k≥1，同餘方程x^k≡a(mod m)，(a，m)=1被稱為是模m的二項同餘方程。

基本介紹

• 中文名：二項同餘方程
• 外文名：binomial congruence equation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等數論(原根和指數)
• 別稱：二項同餘式
• 簡介：一類特殊的同餘方程

基本介紹

設整數k≥1，正整數m的標準分解式為，而形如

的同餘式稱為二項同餘方程，它等價於下面二項同餘方程組

利用原根的最小指數表可以解出(2)中的每一個同餘方程。若(1)有解，則稱a為模m的k次剩餘；若(1)無解，則稱a為模m的k次非剩餘。a是模m的k次剩餘的充分必要條件是a為每一個模(i=1，2，…，s)的k次剩餘，因此，(1)若有解，則根據孫子定理可歸結為解形如

的二項方程。

二項同餘方程的解

關於二項同餘方程(1)的解有如下結論：

1.設m>1，且有原根 ɡ，(a，m)=1，k≥1，則(1)有解的充分必要條件是(k，φ(m))|ind a，若有解，恰有(k，φ(m))個解。

2.設m>1，k≥1，(a，m)=1，模m有原根，則a是模m的k次剩餘的充分必要條件是

且模m的k次剩餘的個數為φ(m)/(φ(m)，k)。

3.若m=2^α，α≥3，2∤a，，則二項同餘方程x^k≡a(mod 2^α)當2∤ k時恰有一解；當2|k時有解的充分必要條件是r_-1=0，且(k，2^α-2)|r₀，若有解，恰有2(k，2^α-2)個解。