《二階隨機微分方程的Runge-Kutta方法研究》是依託電子科技大學,由王志勇擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：二階隨機微分方程的Runge-Kutta方法研究
- 依託單位：電子科技大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王志勇
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
二階隨機微分方程因反映了很多自然現象的動力行為，已在物理、控制、生物和金融等領域有著重要的套用。目前，關於數值解方面的研究成果不多，只能將其轉化成一階系統來計算。但是直接對二階系統本身進行數值模擬將更加有效。本項目將針對求解二階隨機微分方程，研究隨機Runge-Kutta-Nystrom（SRKN）方法，我們將考察隨機Nystrom樹，發展Faa di Bruno公式，構造一般的SRKN方法的格式，並尋求方法的階條件。利用嵌入的思想和最小均方誤差準則，我們將構造具體的計算方法。進一步，將新算法與化系統為一階方程的常用計算方法進行比較，分析穩定性和收斂性。同時，我們也將關注長時行為和系統的振盪性，研究隨機Hamilton系統的辛方法和對稱方法。
結題摘要
二階隨機微分方程因反映了很多自然現象的動力行為，已在物理、控制、生物和金融等領域有著重要的套用,一般的，這類方程很難求其理論解，故而在指導實際套用和研究中往往作用有限，因此，構造合適的數值方法求出方程的近似解就顯得尤為重要了。本項目將針對求解二階隨機微分方程，研究隨機Runge-Kutta-Nystrom（SRKN）方法，我們將考察隨機Nystrom樹，發展Faa di Bruno公式，構造一般的SRKN方法的格式，並尋求方法的階條件。 首先基於簡單的線性的二階隨機微分方程，考慮引入勢函式分量，將二階隨機微分方程轉化為一階隨機微分方程組，引入了彩色樹理論，研究了隨機版本的Faadi Bruno公式，得到了Stochastic Runge-Kutta(SRK)方法的階條件，構造了0.5階和1階的強SRK方法。 研究了多維噪聲的二階積分的模擬，因二階積分理論上無法確定其分布，所以只能從近似計算的角度考察其高維逼近的可能。本項目利用條件特徵函式和傅立葉變換，得到了其近似計算公式，為此類方程的數值近似打下基礎。 在二重積分的近似和SRK方法實現的工程中，發現計算量巨大，故考慮了基於IMEX Runge-Kutta方法的Parareal算法實現，首先基於確定性的微分方程，研究了並行計算的實現和穩定性分析，結果良好。 本項目按原研究計畫，發現了一些實質性的困難，主要有：由於噪聲項的引入，特別是多維噪聲的存在使得理論分析極其困難，除了少數線性方程，對於一般非線性高維情況解的存在和唯一性無法保證，穩定性分析也較困難，已有成果甚少；與確定性二階常微分方程的研究類似，本項目也試圖從出發，給出一般的振盪方程的積分形式，然後考慮理論解和數值解的展開，但由於噪聲項的存在和干擾，隨機版本的積分公式極難確定，要結合多維Ito公式，在理論推導上出現實質性的困難，無法給出隨機版本的常數變易公式及解的展開式，導致進展緩慢。
