二階常係數線性齊次微分方程

二階常係數線性齊次微分方程，指含有未知函式最高階導數或微分為二階，且係數為常數的齊次方程。二階常係數線性齊次微分方程是二階常係數線性非齊次微分方程解的基礎。

基本介紹

• 中文名：二階常係數線性齊次微分方程
• 外文名：Second-order linear homogeneous differential equation with constant coefficients

定義

形如：

其中，的微分方程，稱為二階常係數線性齊次微分方程。

方程的解

注意到，的一階導數與二階導數與自身具有類似的結構。不妨設方程的一個特解為

則：

代入原方程，化簡得到：

方程稱為二階常係數線性齊次微分方程的特徵方程，其解稱作方程的特徵根。根據代數學基本定理，該特徵方程在複數域中，至多有兩個根。根據特徵根的解的分布，解有以下三種情況。

兩個不等實根

設兩個實根為。由，方程分別有兩個線性無關的特解。根據齊次線性微分方程解的性質，方程的通解為

兩個相等實根

設這個實根為，則於是方程有特解。根據劉維爾公式，與之線性無關的一個解為：

於是，方程的通解為：

兩個共軛復根

設這對復根為，於是方程的通解為：