二維幾何變換

什麼是二維幾何變換

二維指長和寬，即平面。

二維幾何變換就是平面幾何的幾種變換。如平移，旋轉，翻折等的變換。

正如我們在附錄中提到的那樣，用齊次坐標表示點的變換將非常方便，因此在本節中所有的幾何變換都將採用齊次坐標進行運算。二維齊次坐標變換的矩陣的形式是：

這個矩陣每一個元素都是有特殊含義的。

形進行平移變換；[ g h ]是對圖形作投影變換；[ i ]則是對圖形整體進行縮放變換。

1）平移變換

2）縮放變換

3）旋轉變換

4）對稱變換

對稱變換其實只是 a 、 b 、 d 、 e 取0、1等特殊值產生的一些特殊效果。例如：

當 b = d =0， a =-1， e =1時有 x =-x，y=y，產生與y軸對稱的圖形。

當 b = d =0， a =-1， e =-1時有 x =x，y=-y，產生與x軸對稱的圖形。

當 b = d =0， a = e =-1時有 x =-x，y=-y，產生與原點對稱的圖形。

當 b = d =1， a = e =0時有 x =y，y=x，產生與直線y=x對稱的圖形。

當 b = d =-1， a = e =0時有 x =-y，y=-x，產生與直線y=-x對稱的圖形。

5）錯切變換

當 d =0時，x=x+by，y=y，此時，圖形的y坐標不變，x坐標隨初值（x，y）及變換係數b作線性變化。

當 b =0時，x=x，y=dx+y，此時，圖形的x坐標不變，y坐標隨初值（x，y）及變換係數d作線性變化。

6）複合變換

如果圖形要做一次以上的幾何變換，那么可以將各個變換矩陣綜合起來進行一步到位的變換。複合變換有如下的性質：

複合平移對同一圖形做兩次平移相當於將兩次的平移兩加起來：

複合縮放兩次連續的縮放相當於將縮放操作相乘：

複合旋轉兩次連續的旋轉相當於將兩次的旋轉角度相加：

縮放、旋轉變換都與參考點有關，上面進行的各種變換都是以原點為參考點的。如果相對某個一般的參考點（ xf ， yf ）作縮放、旋轉變換，相當於將該點移到坐標原點處，然後進行縮放、旋轉變換，最後將（ xf ， yf ）點移回原來的位置。切記複合變換時，先作用的變換矩陣在右端，後作用的變換矩陣在左端。關於（ xf ， yf ）點的縮放變換繞（ xf ， yf ）點的旋轉變換

二維幾何變換

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