《二維哈密頓同胚群結構的研究》是依託南開大學，由王儉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：二維哈密頓同胚群結構的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王儉
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目研究二維哈密頓同胚群的結構。在有向閉流形M上，定義於M上的關於某有限測度的旋轉向量為０的，同痕於恆等映射的所有同胚構成了一個群Ｇ，在二維情形我們稱G為哈密頓同胚群。A.Fathi於1980年證明了當M的維數大於２時，G是單的，即Ｇ沒有非空的正規真子群。而在１維情形該群是平凡的，因此２維的情形是至今沒有解決的問題，人們普遍猜測此時Ｇ是非單的。在辛幾何領域，Y.G.Oh和S.Müller在2007年構造了Ｇ的一個非平凡子群H，它是哈密頓微分同胚群的C^0閉包，他們進一步利用Hofer度量構造了H的一個子群Q，且Q是G的正規子群。.本項目我們將利用辛幾何和動力系統的工具，首先證明在2維時，Q是Ｇ的正規真子群，這將否定回答上面提到的公開問題；其次我們將研究哈密頓微分同胚群的C^0逼近問題：群H是否為群G的真子群？這是辛幾何和動力系統領域所關心的重要的前沿問題。
結題摘要
研究表明，作用量函式蘊含了動力系統大量的拓撲不變數。尤其在辛幾何領域，經典的作用函式在辛拓撲中被廣泛的研究並且得到了許多重要的成果。由於經典的Gromov-Eliashberg剛性定理，使得人們對於$C^0$辛幾何產生興趣，近年來大量的光滑辛微分同胚的一些性質被推廣到了相應的$C^0$辛同胚上。而在二維曲面上，一族哈密頓微分同胚的的$C^0$-極限對應著那些平均旋轉向量為0的同胚，我們稱之為哈密頓同胚。在本項目中，我們證明了：在虧格大於等於1的閉有向曲面上，在弱有界的條件下，廣義$C^0$-辛作用函式是存在的；廣義辛作用函式關於同倫不變；證明了$C^0$-Schwarz定理，這一工作回答了巴黎六大數學系教授Le Roux的問題；得到了哈密頓同胚不動點集的某些結構性質；得到了$C^0$-廣義Arnold猜想(參考Floer和Hofer的工作)在二維曲面成立, 這一工作回答了巴黎六大數學系教授Humiliere提出的問題；得到了$T^2$上的哈密頓同胚群以及虧格大於等於2閉曲面上的同胚群沒有周期元素；得到了二維Zimmer猜測的另一個證明，並推廣了Polterovich的結果。
