基本介紹
存儲,基本操作,插入節點,刪除根節點,構造二叉堆,合併兩個二叉堆,參見,
存儲
二叉堆一般用數組來表示。如果根節點在數組中的位置是1,第n個位置的子節點分別在2n和 2n+1。因此,第1個位置的子節點在2和3,第2個位置的子節點在4和5。以此類推。這種基於1的數組存儲方式便於尋找父節點和子節點。
如果存儲數組的下標基於0,那么下標為i的節點的子節點是2i+ 1與2i+ 2;其父節點的下標是⌊floor((i− 1) ∕ 2)⌋。函式floor(x)的功能是“向下取整”,或者說“向下捨入”,即取不大於x的最大整數(與“四捨五入”不同,向下取整是直接取按照數軸上最接近要求值的左邊值,即不大於要求值的最大的那個值)。比如floor(1.1)、floor(1.9)都返回1。
如下圖的兩個堆:
1 11 / \ / \ 2 3 9 10 / \ / \ / \ / \ 4 5 6 7 5 6 7 8 / \ / \ /\ /\ 8 9 10 11 1 2 3 4
將這兩個堆保存在以1開始的數組中:
位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11左圖: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11右圖: 11 9 10 5 6 7 8 1 2 3 4
對於一個很大的堆,這種存儲是低效的。因為節點的子節點很可能在另外一個記憶體頁中。B-heap是一種效率更高的存儲方式,把每個子樹放到同一記憶體頁。
如果用指針鍊表存儲堆,那么需要能訪問葉節點的方法。可以對二叉樹“穿線”(threading)方式,來依序遍歷這些節點。
基本操作
在二叉堆上可以進行插入節點、刪除節點、取出值最小的節點、減小節點的值等基本操作。
插入節點
在數組的最末尾插入新節點。然後自下而上調整子節點與父節點(稱作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作):比較當前節點與父節點,不滿足堆性質則交換。從而使得當前子樹滿足二叉堆的性質。時間複雜度為
。
![](/img/8/e38/78748575dbd64d468b8847e38820.jpg)
刪除根節點
刪除根節點用於堆排序。
對於最大堆,刪除根節點就是刪除最大值;對於最小堆,是刪除最小值。然後,把堆存儲的最後那個節點移到填在根節點處。再從上而下調整父節點與它的子節點:對於最大堆,父節點如果小於具有最大值的子節點,則交換二者。這一操作稱作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至當前節點與它的子節點滿足堆性質為止。
構造二叉堆
一個直觀辦法是從單節點的二叉堆開始,每次插入一個節點。其時間複雜度為
。
![](/img/d/9c6/b55e3cb95c9fd8ce41f01e916185.jpg)
最優算法是從一個節點元素任意放置的二叉樹開始,自底向上對每一個子樹執行刪除根節點時的Max-Heapify算法(這是對最大堆而言)使得當前子樹成為一個二叉堆。具體而言,假設高度為h的子樹均已完成二叉堆化,那么對於高度為h+1的子樹,把其根節點沿著最大子節點的分枝做調整,最多需要h步完成二叉堆化。可以證明,這個算法的時間複雜度為O(n)。
合併兩個二叉堆
最優方法是把兩個二叉堆首尾相連放在一個數組中,然後構造新的二叉堆。時間複雜度為
,其中n、k為兩個堆的元素數目。
![](/img/0/fc0/e7314598884ff489a6219d6e7d6b.jpg)
如果經常需要合併兩個堆的操作,那么使用二項式堆更好,其時間複雜度為
。
![](/img/e/a78/3b345f12b638d466ce8c6ea64361.jpg)