中算家的計數論，科學出版社2022年1月出版的一本圖書，作者是羅見今
基本介紹
- 中文名：中算家的計數論
- 作者：羅見今
- 出版社：科學出版社
- ISBN：9787030692504
內容簡介,圖書目錄,
內容簡介
本書研究中國傳統數學的機械化、離散性和計數特徵，從古代到晚清，共分4編14章，由作者多年來發表的80餘篇數學史和組合數學學術論文編輯而成，選擇典型案例系統論述三千年中算計數的發展，多有新見，說明中國人自古擅長計數，對近代計數論亦有貢獻。
本書是中國數學史大專題研究，以史料和問題為中心，以套用為導向，以相關拓展和專題研究為特點，重在體例創新，避免通史寫法；顧及數學史家、數學教師、數學家對古算的觀點和研究方法，力求廣徵博引、連線中西。選材既有中算著名問題，又可滿足當前教學所需，並延伸到現代計數領域。
圖書目錄
序（李文林） i
前言 iii
第1章 導論 1
1.1 中國傳統數學：概念、分期和特徵 2
1.1.1 作為數學門類專名的歷史更迭 2
1.1.2 中算的歷史分期 5
1.1.3 傳統數學的機械化特徵：吳文俊先生的論述 7
1.2 離散問題：早期的淵源和現代的復興 11
1.2.1 中英文“計數”的詞源及現代意義 11
1.2.2 組合計數的早期發展 14
1.2.3 離散數學與組合計數理論 19
1.3 中國數學史中的“計數”22
1.3.1 從語義學的觀點認識“計數” 22
1.3.2 從中算家的觀點認識“計數” 23
1.3.3 從組合論的觀點認識“計數” 23
1.3.4 從思想史的觀點認識“計數” 24
1.3.5 中算計數論經歷了五個歷史時期 25
前編
第2章 洛書與周易：古代計數思想的起源 29
2.1 龜背上的洛書：世界上最古老的三階幻方 30
2.1.1 有關河圖洛書的歷史記載 31
2.1.2 洛書即洪範九疇說、洛書即九宮說 33
2.1.3 河圖即天地生成數說、河圖即圖讖說 35
2.1.4 關於河洛起源討論的小結 36
2.2 周易卦序：排列與對稱的數學 39
2.2.1 《周易》簡介 39
2.2.2 易卦的數學解析與邵雍先天圖 41
2.2.3 數學視角中易經的幾個基本概念 42
2.2.4 二進卦值菱圖的構成和性質 45
2.2.5 二進卦值菱圖中周易卦序的對稱結構 46
2.2.6 易卦卦序結構的擴展研究 48
2.2.7 結語 49
2.3 帛書周易卦序的數學建構 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的數學建構 50
2.3.2 帛書周易方陣的數學結構分析 51
2.3.3 帛書周易六十四卦卦位及下、上卦值構造表 53
2.3.4 結語 54
2.4 行道吉凶表的構成 54
2.4.1 “行道吉凶”包括占卜表和吉凶判據 55
2.4.2 將“行道吉凶”表數位化 56
2.4.3 對“行道吉凶”表構造的分析 57
2.4.4 吉凶統計的結果 58
2.5 對周易揲法與四柱預測的數學解析 59
2.5.1 周易揲法與分揲定理 59
2.5.2 宋代費袞對“鴿籠原理”的套用 63
第3章 律歷與博局：古代計數方法的套用 66
3.1 戰國簡天象玄戈篇：世界上最古老的四階拉丁方 67
3.1.1 解讀玄戈篇：構成一個占星表 69
3.1.2 討論玄戈占星表結構的五個問題 71
3.1.3 玄戈占星表的標準形式：四階拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四階拉丁方”修正玄戈篇原簡的缺陷 76
3.1.5 結語 77
3.2 乾支紀日：世界上絕無僅有的循環紀日曆法 77
3.2.1 天干地支循環計數法的起源與乾支序數 78
3.2.2 天干地支的排列、意義和性質 80
3.2.3 乾支的同餘性質在考釋歷簡年代中的套用 82
3.2.4 從乾支的周期性到“年朔序”84
附記：關於“乾支歷”與“乾支紀日的曆法”的區別的說明 86
3.3 黃鐘大呂：上古音樂中套用的計數方法 86
3.3.1 公元前三分損益法的演進：求十二律的三種途徑 87
3.3.2 十二律的精確算法和通項公式 90
3.3.3 放馬灘秦簡律書與十二律大數計算公式 92
3.3.4 黃鐘大數與十二律大數：京房的沿襲 93
3.4 漢代的博局占戲：從乾支計數到位置設計 95
3.4.1 西漢木牘記載的博局占圖 95
3.4.2 博局占圖的數學分析和該圖的來源考釋 97
3.4.3 標準博局占圖的復原 98
3.4.4 博局圖與漢代銅鏡中的“TLV”紋飾 100
3.4.5 博局遊戲：來自《西京雜記》的證據 100
3.4.6 結語 102
3.5 中國的Nim——從古代的遊戲到現代的數學 103
3.5.1 西方的Nim就是中國古代的“抓三堆”遊戲 103
3.5.2 遊戲Nim變成了現代數學名詞 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制勝方案，Nim三元系與斯坦納三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的計算機向你挑戰 109
第4章 管墨荀諸子書與戰國秦竹簡中的計數 110
4.1 《管子》《荀子》《韓非子》中的“計數” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“計數”111
4.1.2 荀子、韓非子論“計數”114
4.2 相關的專題：《墨經》中的算術和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家與《墨經》簡介 116
4.2.2《墨經》中的算術和幾何知識 117
4.2.3 《墨經》中的集合與區間概念 120
4.2.4 《墨經》有關無窮和極限的概念 122
結語 124
4.3 清華大學藏戰國竹簡《算表》125
4.3.1 《清華大學藏戰國竹簡（肆）》算表的發現 125
4.3.2 清華戰國竹簡算表的構造、解讀和套用 126
4.3.3 清華簡算表在數學史上的意義 127
4.3.4 全面分析和正確解讀簡牘數據表 128
4.4 北京大學藏秦簡《陳起論數》計數內容分析 129
4.4.1 北大秦簡《陳起論數》的釋文解讀 129
4.4.2《陳起論數》現代漢語譯文 133
4.4.3 對北大秦簡《陳起論數》的分析 134
上編
第5章 《九章算術》與劉徽注中的比例、數列和體積 141
5.1 《九章》與劉注中的“率”和數列問題 142
5.1.1 劉徽是中國古代偉大的數學家 143
5.1.2 《九章算術》劉徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解決等差、等比、調和數列6題 149
5.1.4 商功章：芻甍、芻童體屬於擬柱體 152
5.1.5 均輸章：以連比例率解複雜條件的數列4題 155
5.2 劉徽套用比例研究體積關係獲得重要定理 159
5.2.1 張衡、劉徽探索球體積的算法 160
5.2.2 劉徽用比例表示的體積定理 163
5.2.3 劉徽在開立圓術注中提出了“牟合方蓋” 164
5.3 拓展的研究：劉徽算法與劉徽猜想 165
5.3.1 劉徽算法的推廣：用積分表示 166
5.3.2 “以盒蓋為方率”求球體積的劉徽猜想 167
第6章 漢唐算經中的算術和計數舉隅 172
6.1 《周髀算經》：漢人視野中天地的算術模型 173
6.1.1 數學思想史上兩篇重要的對話 174
6.1.2 運用比例、分數和等差數列進行天文計算 176
6.1.3 套用測量和比例計算建立的宇宙模型 179
6.2 《孫子算經》的計數內容 182
6.2.1 數學思想史中的傑作：孫子對算術的評價 182
6.2.2 度量衡單位、籌算計數法和等差、等比數列 183
6.2.3 物不知數問題與各色計數問題 186
6.3 《張邱建算經》中的整數論與計數 189
6.3.1 分數乘除法和最大公約數、最低公倍數 190
6.3.2 等差、等比數列問題 192
6.3.3 不定方程：百雞問題 196
6.4 《數術記遺》中的珠算和計數工具 197
6.4.1 大數記法和循環計數理論 199
6.4.2 積算、太一算、兩儀算 200
6.4.3 三才算、五行算、運籌算 202
6.4.4 珠算和計數 204
第7章 祖沖之和祖暅：精密計算的先驅 207
7.1 祖沖之生平與成就 208
7.1.1 中古的數學天才 208
7.1.2 人類早期數學文明的標誌：圓周率 209
7.1.3 祖沖之的科學貢獻永載史冊 213
7.2 祖沖之計算圓周率的方法探析 214
7.2.1 祖沖之求圓周率方法研究：套用劉徽割圓術 215
7.2.2 華羅庚對割圓術求圓周率的現代表述 217
7.2.3 擴展的研究：求圓周率其他可能的途徑 218
7.3 《大明曆》採用391年置144閏的新閏周 220
7.3.1 拓展的研究：套用算術方法分析農曆和《大明曆》 221
7.3.2 閏周的概念與相關連分數和漸近分數 223
7.3.3 “諧月”概念的提出 225
7.4 祖暅繼承劉徽從合蓋體積獲得球體積公式 228
7.4.1 祖暅原理的套用和球體積公式導出 228
7.4.2 擴展的討論：阿基米德球體積公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 劉徽與祖暅的歷史貢獻：一個引起討論的問題 233
中編
第8章 沈括楊輝秦九韶：傑出的計數成果 239
8.1 沈括《夢溪筆談》中計數成就探析 240
8.1.1 沈括是科學史上的偉人 241
8.1.2 沈括“隙積術”首開中算級數論 243
8.1.3 《夢溪筆談》棋局都數 245
8.1.4 “六十甲子納音” 247
8.2 楊輝：縱橫圖與垛積術 253
8.2.1 楊輝和他的數學著作 253
8.2.2 《續古摘奇算法》是數學史上的奇書 255
8.2.3 賈憲三角形 260
8.2.4 垛積術與數列問題 263
8.3 秦九韶：“道”的思想與兩項算法的巔峰之作 267
8.3.1 秦九韶與《數書九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍總數術：仿周易揲法的數學傑作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程數值解的秦九韶程式 276
第9章 朱世傑《四元玉鑒》的垛積招差術 280
9.1 《四元玉鑒》垛積招差術（上） 280
9.1.1 朱世傑的垛積招差術是組合計數的開山之作 281
9.1.2 《四元玉鑒》垛積招差術綜述 283
9.1.3 茭草形段7題 286
9.2 《四元玉鑒》垛積招差術（下） 288
9.2.1 箭積交參7題 288
9.2.2 如象招數5題 291
9.2.3 果垛疊藏20題 297
9.3 拓展的研究：朱世傑-范德蒙公式的由來和發展 300
9.3.1 尋找“朱世傑-范德蒙公式”300
9.3.2 錢寶琮先生闡發朱世傑垛積術成果的歷史貢獻 301
9.3.3 Vandermonde公式的組合意義 303
9.3.4 徐利治先生介紹朱-范公式的現代發展 304
第10章 王文素的計數成就與珠算的發展 306
10.1 《算學寶鑑》中的珠算與計數問題 307
10.1.1 王文素和他的著作《算學寶鑑》 307
10.1.2 珠算乘法的簡算法 310
10.1.3 數列、垛積和輪流均數問題 313
10.2 《算學寶鑑》所載幻圖和“王文素問題”317
10.2.1 王文素構造的五種幻圖 317
10.2.2 王文素問題之一——“三同六變” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素問題”三類子問題 322
10.2.4“王文素問題”的歷史價值 326
10.3 相關的進展：珠算申報世界非物質文化遺產的過程 327
10.3.1 珠算在我國文化史、數學史中的重要地位 327
10.3.2 吳文俊先生關心珠算事業的發展 330
10.3.3 中國珠算的申遺之路和復興之路 333
下編
第11章 明安圖《割圜密率捷法》的無窮級數 339
11.1 明安圖是傑出的蒙古族天文數學家 340
11.1.1 少年明安圖被選為欽天監的官學生 340
11.1.2 明安圖對天文學和西北大地測量的貢獻 341
11.1.3 明安圖對數學的貢獻 343
11.1.4 明安圖的學術影響、歷史地位與永恆的紀念 346
11.2 明安圖計算無窮級數的方法分析 348
11.2.1 “率”的概念、記法與有關結果 349
11.2.2 無窮級數加減、數乘與項乘 351
11.2.3 無窮級數自乘 354
11.2.4 兩無窮級數相乘 357
11.3 明安圖是卡塔蘭數的首創者 359
11.3.1 關於卡塔蘭數 359
11.3.2 明安圖的首創性成果 361
11.4 明安圖創卡塔蘭數的方法分析 363
11.4.1 求Cn數的第一法 363
11.4.2 求Cn數第一法的又例 367
11.4.3 求Cn數的第二法 370
11.5 明安圖級數回求中的計數結構 372
11.5.1 《捷法》級數回求的第一種計數結構 373
11.5.2 級數回求中的第一種計數結構的套用 377
11.5.3 《捷法》級數回求的第二種計數結構 379
11.5.4 “奇、偶組合”是明安圖創立的計數結構 381
第12章 徐有壬、戴煦正切數研究的領先成果 383
12.1 徐有壬《測圓密率》對正切數的研究 384
12.1.1 徐有壬及其對無窮級數的研究 384
12.1.2 正切數的意義 385
12.1.3 《測圓密率》中的正切數 386
12.2 戴煦與其無窮級數傑作《外切密率》 388
12.2.1 數學家戴煦及其《外切密率》 389
12.2.2 正切數的中西研究史 394
12.3 作為遞歸函式的正切數和歐拉數 396
12.3.1 戴煦套用遞歸函式法獲得正切數 396
12.3.2 戴煦對歐拉數的研究 399
12.3.3 戴煦求歐拉數的“立術之由” 402
12.4 拓展的研究：作為特殊函式、計數函式的正切數和歐拉數 404
12.4.1 作為特殊函式的正切數和歐拉數 404
12.4.2 作為計數函式的正切數和歐拉數 410
12.4.3 交錯排列中的正切數與歐拉數 412
12.4.4 結語 415
第13章 李善蘭與《垛積比類》 417
13.1 李善蘭：中國近代數學和數學教育的先行者 417
13.1.1 李善蘭的生平和事業 417
13.1.2 李善蘭的數學工作簡介 420
13.1.3 李善蘭的科學著作翻譯工作 424
13.1.4 近代數學教育的先驅 426
13.2 《垛積比類》內容分析 428
13.2.1 《垛積比類》概述 428
13.2.2 《垛積比類》內容綜述 431
13.2.3 數學思想和方法的分析 439
13.3 進層分析：李善蘭對Stirling數和Euler數的研究 443
13.3.1 第一種李氏數是第一種斯特林數的絕對值 444
13.3.2 第二種李氏數即歐拉數 446
13.4 拓展的研究：李善蘭恆等式的導出 450
13.4.1 李善蘭恆等式的證明簡況 450
13.4.2 李善蘭的條件和方法 452
13.4.3 李善蘭恆等式的推導 452
13.4.4 李善蘭恆等式的推廣 454
13.5 李善蘭是晚清浙江數學家群體的中堅 456
第14章 夏鸞翔華蘅芳計數函式的傑作 460
14.1 夏鸞翔及其級數研究中的計數函式 461
14.1.1 夏鸞翔：早逝的天才 461
14.1.2 《洞方術圖解》創計數函式Xkn 463
14.1.3 《致曲術》的橢圓弧長級數及內含的計數函式Tkn 466
14.2 相關研究：冪和公式的歷史發展 467
14.2.1 早期的冪和問題 468
14.2.2 伯努利、關孝和的冪和公式 468
14.2.3 套用計數函式An，k，Xkn，hkn以求冪和 470
14.3 我國近代科學的先行者華蘅芳 472
14.3.1 生平傳略 472
14.3.2 華蘅芳的數學研究 474
14.3.3 華蘅芳翻譯西方科學和數學著作 476
14.3.4 華蘅芳是我國近代數學教育的創始人 478
14.4 華蘅芳《積較術》中的計數函式 481
14.4.1 “積較之理”與“積較式” 481
14.4.2 華蘅芳的內插法 483
14.4.3 兩種計數函式 485
14.4.4 利用兩種計數函式獲得兩組互反公式 488
14.4.5 利用計數函式求出自然數前m項n次冪和公式 490
14.4.6 結語 492
14.5 拓展研究：華蘅芳數在冪和公式中的套用 493
14.5.1 華氏數的新定義 493
14.5.2 華氏數的性質 495
14.5.3 冪和問題的組合解：取盒-放球模型 496
作者文獻 498
後記 503
