不完全觀測下信號恢復的理論與算法

《不完全觀測下信號恢復的理論與算法》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由許志強擔任項目負責人的重大研究計畫。

基本介紹

• 中文名：不完全觀測下信號恢復的理論與算法
• 項目類別：重大研究計畫
• 項目負責人：許志強
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

通過不完全觀測信息對信號進行重建在多個套用領域中均被提出，本項目主要研究各種不完全觀測下信號重建的理論與算法。首先考慮無相位觀測的基礎理論問題，擬給出無相位觀測下，信號可被唯一確定的的最小觀測次數，特別是考慮加仿射平移下的相位恢復及投影相位恢復的問題。研究稀疏低秩矩陣所形成的代數簇維數和次數，並依此給出在無相位觀測下，稀疏信號可被唯一確定的最小觀測次數。與壓縮感知結合，研究求解稀疏信號相位恢復的L1最小模型，並將壓縮感知的一些基本結果，如 RIP 條件等，擴展到無相位觀測。設計與發展求解各類相位恢復問題的算法，特別是分析求解相位恢復的Gauss-Newton方法，並將這些算法擴展到稀疏信號情形。研究稀疏插值問題，特別是利用函式的稀疏特徵，依據不完全的插值點對函式進行重建。將發展的算法形成相應的軟體，用於高分辨稀疏成像等領域。

結題摘要

項目主要針對通過不完全觀測對信號或函式恢復的理論基礎和算法進行研究，特別是針對相位恢復、低秩矩陣恢復、稀疏插值等的理論基礎和算法問題進行研究。對其中的一些關鍵性的理論基礎問題取得進展。針對矩陣恢復問題，在複數情形，解決了Eldar, Needell, Plan提出的低秩矩陣恢復最小觀測次數猜想。並採用計算代數幾何工具，在實情形，否定了矩陣恢復的最小觀測次數猜想，並進一步否定了著名相位恢復專家 Peter G. Casazza等人提出的投影相位恢復最小觀測次數的公開問題。針對相位恢復，研究了最小觀測次數問題。特別是，在相位恢復與一些基礎數學的分支建立了關聯，如非奇異雙線性形式，代數簇的維數及射影空間在歐式空間中的嵌入等。針對仿射相位恢復，給出了其最少觀測次數，並將仿射相位恢復擴展到廣義仿射相位恢復，研究了廣義仿射相位恢復的最少觀測次數及穩定性等問題。在相位恢復中， 最常用的一個求解模型是非線性最小二乘摸型。 但長期以來，缺少對該模型的理論基礎分析。我們針對該模型進行了分析，特別是分析了其減噪性能。求解相位恢復的算法是近期研究熱點問題。 針對該問題，我們設計了求解相位恢復的Gauss-Newton算法，並證明了該算法具有全局二階收斂性質。這是迄今為止，唯一一個可被證明具有全局二階收斂的相位恢復算法。以正交多項式作為基底對函式進行逼近在不確定量化中具有廣泛套用。在實際問題中， 人們除知道插值點的函式值以外，也會得到部分梯度信息。針對該問題，我們研究了加梯度信息的多項式逼近在不確定量化中的套用，設計了相關算法，並對稀疏多項式插值進行了進一步研究。解決了近期同行關注的框架最小勢猜想。