《一般Sturm-Liouville邊界條件下一些偏微分方程的KAM理論》是依託東北師範大學，由高憶先擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一般Sturm-Liouville邊界條件下一些偏微分方程的KAM理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：高憶先
- 依託單位：東北師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究在一般的Sturm-Liouville邊界條件下一些偏微分方程的無窮維KAM理論。通過分析非線性Ginzburg-Landau方程，研究其在一般的Sturm-Liouville邊界條件下相應譜的具體性質，給出與其Hamilton結構相適應的KAM定理，得到其擬周期解的存在性與穩定性。考慮依賴於空間變數X的波動方程，分析其在Sturm-Liouville邊界條件下對應性質，研究其Hamilton系統的結構，給出KAM定理，從而在高維空間中得到其擬周期解的存在性與穩定性。波方程描述了自然界各種各樣的波動現象，一直受到國內外眾多學者的廣泛關注，並取得了很多有意義的研究結果。現有的結果大多是處理比較理想的常係數情形，而依賴於X係數的波動方程是一種更為實際的模型，在本項目中在一般邊界條件下通過對這類變係數波動方程的擬周期解的研究，將會為人們進一步深入地認識和理解波動現象提供必要的理論依據。
結題摘要
本項目主要考察無窮維哈密頓系統在一般邊界條件下動力學行為，特別是其周期解和擬周期解的存在性和穩定性。首先我們研究了依賴於空間變數的變係數波動方程，這類方程主要描述的是非均勻介質中波的傳播，例如非均勻弦的振動和在各處具有不同密度和彈性係數的地質層中傳播的地震波等，這類波動現象一直受到國內外眾多學者的廣泛關注。對於這類依賴於空間變數x 的變係數波動方程，我們分別考慮了Dirichlet邊界條件，Neumann邊界條件，Dirichlet-Neumann邊界條件，和Sturm-Liouville邊界條件下，根據不同的邊界條件波動運算元對應不同的譜和特徵值，分析了其譜的分離性和漸進性， 首次利用無窮維的KAM理論， 得到了這類變係數波動方程擬周期解的存在性和穩定性。這一研究成果可以讓我們更好的理解非線性現象，對於這類更貼近實際的物理模型的波動方程有了更深刻的認識。其次對於一般的梁方程和高階波動方程，對於Dirichlet邊界條件下，我們分析了該邊界條件下對應運算元譜的性質，利用其分離性，根據無窮維KAM定理，得到擬周期解的存在性和穩定性。通過對高價波動方程的研究，我們可以理解更一般的非線性方程，對於涵蓋了波動方程和梁方程的一大類方程的擬周期解的存在性有了更加清晰的認識，從而對我們研究更加複雜的方程具有指導意義。完全共振現象是目前研究的熱點問題之一，由於共振的作用那么已有的方法已經失效。我們考慮擬周期外力作用下的波動方程和梁方程，在周期邊界條件下，行波形式擬周期解的存在性和正則性。我們利用變化的Lyapunov-Schmidt約化的方法，將考慮的問題轉化為值域方程和分支方程，分支方程由於是完全共振的，那么是無窮維的，我們將其分成兩部分，利用壓縮映射原理在一個零測度集下，得到分支方程的無窮維部分和值域方程解的存在性。對於分支方程的有限維部分，我們利用環繞定理從而得到了解的存在性和正則性。目前已有的成果研究的外力一般不依賴時間或者是關於時間是周期的，我們的結果是在擬周期外力作用下，此外，我們得到的擬周期解是耦合依賴於時間和空間變數的。這一結果可以讓我們更好的理解非共振現象，對這類完全共振方程擬周期解的存在性有深刻的認識，從而對解決這類共振問題提供理論依據和指導。
